考研数学常用基础知识默写版

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Post not found: 数学二基础知识总结 答案：

一、数列

1. 等差数列

$$a_n=$$ $$S_n=$$

2.等比数列

$$a_n=$$ $$S_n=$$

3. 前n项和

$$1+2+\dots+n=$$ $$1^2+2^2+\dots+n^2=$$ $$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\dots+\frac{1}{n\times(n+1)}=$$

二、三角函数

1. 基本关系

$$1+\tan^2\alpha=$$ $$1+\cot^2\alpha=$$ $$a\sin x+b\sin x=$$

2. 诱导公式

	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\pi-\alpha$	$\pi+\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$	$2\pi-\alpha$
$\sin\theta$
$\cos\theta$
$\tan\theta$
$\cot\theta$

3. 倍角公式

$$\sin3\alpha=$$ $$\cos3\alpha=$$ $$\tan2\alpha=$$ $$\cot2\alpha=$$

4. 半角公式

$$\tan\frac{\alpha}{2}=$$ $$\cot\frac{\alpha}{2}=$$

5. 和差公式

$$\sin(\alpha\pm\beta)=$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=$$ $$\tan(\alpha\pm\beta)=$$ $$\cot(\alpha\pm\beta)=$$

6. 积化和差

$$\sin\alpha\cos\beta=$$ $$\cos\alpha\sin\beta=$$ $$\cos\alpha\cos\beta=$$ $$\sin\alpha\sin\beta=$$

7. 和差化积

$$\sin\alpha+\sin\beta=$$ $$\sin\alpha-\sin\beta=$$ $$\cos\alpha+\cos\beta=$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=$$

8. 万能公式

$$当\mu=\tan\frac{x}{2}(-\pi<x<\pi)，则\sin x=$$

三、一元二次方程

1. 韦达定理

$$x_1+x_2=$$ $$x_1x_2=$$

2. 抛物线顶点

$$设y=ax^2+bx+c，则顶点：p(~,~)$$

3. 点到直线距离

$$l=$$

四、因式分解

$$(a+b)^3=$$ $$a^3-b^3=$$ $$a^3+b^3=$$ $$n为正整数：a^n-b^n=$$ $$n为正偶数：a^n-b^n=$$ $$n为正奇数：a^n+b^n=$$ $$二项式定理：(a+b)^n=$$

五、阶乘

$$(2n)!!=2\cdot4\cdot6\dots(2n)=$$ $$(2n-1)!!=$$

六、不等式

1. 基础

$$|a\pm b|\le|a|+|b|$$ $$||a|+|b||\le|a-b|$$ $$|\int_a^bf(x)dx|\le\int_a^b|f(x)|dx$$

2. 基础

$$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$$

3. 重要

$$设a>b>0，则 \left\{\begin{matrix} a^n>b^n, & n>0 \\ a^n<b^n, & n<0 \end{matrix}\right.$$

4. 低频

$$若0<a<x<b，0<c<y<d，则\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$$

5. 重要

$$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi}{2})$$

6. 重要

$$\sin x<x(x>0)$$

7. 低频

$$\arcsin x\le x\le\arcsin x(0\le x\le1)$$

8. 重要

$$e^x\ge x+1$$

9. 重要

$$x-1\ge\ln x(x>0)$$

10. 低频

$$\frac{1}{1+x}<\ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$$

七、泰勒公式

$$\sin x=$$ $$\cos x=$$ $$\arcsin x=$$ $$\tan x=$$ $$\arctan x=$$ $$\ln(1+x)=$$ $$e^x=$$ $$(1+x)^\alpha=$$ $$\frac{1}{1-x}=$$ $$\sqrt{1+x^2}=$$ $$y=f(x)=$$

八、等价无穷小

1. 基础

$$\sin x\sim 、\tan x\sim 、\arcsin x\sim 、\arcsin x\sim 、\ln(1+x)\sim 、e^x-1\sim$$

2. 重要

$$a^x-1\sim 、1-\cos x\sim、(1+x)^\alpha-1\sim、1-\cos^\alpha x\sim$$

3. 两个重要极限

$$\lim_{x\longrightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=$$ $$\lim_{x\longrightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=$$

九、导数公式

1. 基本求导公式

$$(\log_\alpha x)'=$$ $$(\arcsin x)'=$$ $$(\tan x)'=$$ $$(\arccos x)'=$$ $$(\cot x)'=$$ $$(\arctan x)'=$$ $$(arccotx)'=$$ $$(\sec x)'=$$ $$(\csc x)'=$$ $$\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=$$ $$\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]'=$$

2. 参数方程

$$\frac{dy}{dx}=$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=$$

3. 反函数

$$y'_x=\frac{dy}{dx}=$$ $$y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=$$

4. 变限积分求导公式

$$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$$ $$F'(x)=$$

5. 莱布尼茨公式

$$(uv)^{(n)}=$$

6. 曲率

$$k=$$ $$r=$$ $$圆心坐标：$$

十、积分公式

1. 不定积分

$$\int\frac{1}{x}dx=$$ $$\int a^xdx=$$ $$\int\tan xdx=$$ $$\int\cot xdx=$$ $$\int\frac{1}{\cos x}dx=$$ $$\int\frac{1}{\sin x}dx=$$ $$\int\sec^2xdx=$$ $$\int\csc^2xdx=$$ $$\int\sec x\tan xdx=$$ $$\int\csc x\cot xdx=$$ $$\int\frac{1}{1+x^2}dx=$$ $$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=$$ $$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=$$ $$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=$$ $$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=$$ $$\int\sin^2xdx=$$ $$\int\cos^2xdx=$$ $$\int\tan^2xdx=$$ $$\int\cot^2xdx=$$

2. 定积分

$$偶函数：\int_{-a}^{a}f(x)dx=$$ $$奇函数：\int_{-a}^a=$$ $$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}?=\pi?$$ $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}?dx$$ $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x,\cos x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}?dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}?dt$$

3. 分部积分法

$$\int udv=$$ $$\int uv^{(n+1)}dx=$$

4. 区间再现

$$\int_a^bf(x)dx=$$ $$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^b?dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^\frac{a+b}{2}?dx$$

5. 华里士公式

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} ? & n为大于1的奇数 \\ ? & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\int_0^\pi\sin^nxdx= \left\{\begin{matrix} ? & n为大于1的奇数 \\ ? & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\int_0^\pi\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} ? & n为正奇数 \\ ? & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} \int_0^{2\pi}\sin^nxdx \\ \int_0^{2\pi}\cos^nxdx \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} ? & n为正奇数 \\ ? & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$

6. 区间简化公式

$$\int_a^bf(x)dx=\int_0^1?dt$$ $$\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a?dx(a>0)$$

7. 应用

① 面积：

$$S=\int_a^b|y_1(x)-y_2(x)|dx$$ $$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta|r_1^2(\theta)-r_2^2{\theta}|d\theta$$ $$S=\int_a^by(t)dx(t)=\int_\alpha^\beta|y(t)\cdot x'(t)|dt$$ $$椭圆面积公式：S=$$

② 体积

$$绕x轴：V=$$ $$绕y轴：V=$$

③ 均值

$$\bar{y}=$$ $$注：平均值是积分中值定理中的\xi$$

④弧长

$$直角坐标系：s=$$ $$参数方程：s=$$ $$极坐标系：s=$$

⑤表面积

$$y(x)绕x轴：S=$$ $$y(t)绕x轴：S=$$

⑥形心

$$\bar{x}=$$ $$\bar{y}=$$

⑦平行截面面积

$$V=$$

十一、中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则：

1. 有界与最值定理：

2. 介值定理：

3. 平均值定理：

4. 零点定理：

5. 费马定理：

6. 罗尔定理：

7. 拉格朗日中值定理：

8. 柯西中值定理：

9. 泰勒公式：

1）带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式：

2）带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式：

10. 积分中值定理：

11. 二重积分中值定理：

十二、函数图像

1. 心形线

$$右屁股：r=$$ $$左屁股：r=$$

2. 玫瑰线

$$r=$$

3. 阿基米德螺线

$$r=$$

4. 伯努利双扭线

$$水平：r²=$$ $$倾斜：r²=$$

5. 摆线

$$\left\{\begin{matrix} x= \\ y= \end{matrix}\right.$$

6. 星形线

$$直角坐标系：$$ $$\left\{\begin{matrix} x= \\ y= \end{matrix}\right.$$

十三、微分方程

1. 齐次线性微分方程的通解

1. 若$p^2-4q>0$，则$\lambda_1\ne\lambda_2$是特征方程的两个不等实根，则通解为： $$y=$$
2. 若$p^2-4q=0$，则$\lambda_1=\lambda_2$是特征方程的两个相等实根，则通解为： $$y=$$
3. 若$p^2-4q<0$，设$\alpha\pm\beta i$是特征方程的一堆共轭复根，则通解为： $$y=$$

   2. 非齐次线性微分方程的特解

4. 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解要设为： $$y^*=$$
5. 当自由项$f(x)=e^{\alpha x}\left[P_m(x)\cos{\beta x}+P_n(x)\sin{\beta x}\right]$时，特解要设为： $$y^*=$$