数学二基础知识总结

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一、数列

1. 等差数列

$$a_n=a_1+(n-1)d$$ $$S_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)d\right]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$$

2.等比数列

$$a_n=a_1q^{n-1}$$ $$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

3. 前n项和

$$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ $$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\dots+\frac{1}{n\times(n+1)}=\frac{n}{n+1}$$

二、三角函数

1. 基本关系

$$1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha$$ $$1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha$$ $$a\sin x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$$

2. 诱导公式

	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\pi-\alpha$	$\pi+\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$	$2\pi-\alpha$
$\sin\theta$	$\cos\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$
$\cos\theta$	$\sin\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$
$\tan\theta$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$-\tan\alpha$	$\tan\alpha$	$\cot\alpha$	$-\cot\alpha$	$-\tan\alpha$
$\cot\theta$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$-\cot\alpha$	$\cot\alpha$	$\tan\alpha$	$-\tan\alpha$	$-\cot\alpha$

3. 倍角公式

$$\sin3\alpha=-4\sin^3\alpha+3\sin\alpha$$ $$\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$ $$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$ $$\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}$$

4. 半角公式

$$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$$ $$\cot\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}$$

5. 和差公式

$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$ $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$ $$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$$ $$\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta\mp1}{\cot\beta\mp\cot\alpha}$$

6. 积化和差

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$$ $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]$$ $$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$$

7. 和差化积

$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$$ $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$$ $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$$

8. 万能公式

$$当\mu=\tan\frac{x}{2}(-\pi<x<\pi)，则\sin x=\frac{2\mu}{1+\mu^2}$$

三、一元二次方程

1. 韦达定理

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

2. 抛物线顶点

$$设y=ax^2+bx+c，则顶点：p(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$$

3. 点到直线距离

$$\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

四、因式分解

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ $$n为正整数：a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1})$$ $$n为正偶数：a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}-b^{n-1})$$ $$n为正奇数：a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-ab^{n-2}+b^{n-1})$$ $$二项式定理：(a+b)^n=\lim^n_{k=0}C^k_na^{n-k}b^k$$

五、阶乘

$$(2n)!!=2\cdot4\cdot6\dots(2n)=2^n\cdot n!$$ $$(2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\dots(2n-1)$$

六、不等式

1. 基础

$$|a\pm b|\le|a|+|b|$$ $$||a|+|b||\le|a-b|$$ $$|\int_a^bf(x)dx|\le\int_a^b|f(x)|dx$$

2. 基础

$$\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$$

3. 重要

$$设a>b>0，则 \left\{\begin{matrix} a^n>b^n, & n>0 \\ a^n<b^n, & n<0 \end{matrix}\right.$$

4. 低频

$$若0<a<x<b，0<c<y<d，则\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$$

5. 重要

$$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi}{2})$$

6. 重要

$$\sin x<x(x>0)$$

7. 低频

$$\arcsin x\le x\le\arcsin x(0\le x\le1)$$

8. 重要

$$e^x\ge x+1$$

9. 重要

$$x-1\ge\ln x(x>0)$$

10. 低频

$$\frac{1}{1+x}<\ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$$

七、泰勒公式

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$$ $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$$ $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$$ $$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)$$ $$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

八、等价无穷小

1. 基础

$$\sin x\sim x、\tan x\sim x、\arcsin x\sim x、\arcsin x\sim x、\ln(1+x)\sim x、e^x-1\sim x$$

2. 重要

$$a^x-1\sim x\ln a、1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2、(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x、1-\cos^\alpha x\sim\frac{a}{2}x^2$$

3. 两个重要极限

$$\lim_{x\longrightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\longrightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$

九、导数公式

1. 基本求导公式

$$(\log_\alpha x)'=\frac{1}{x\ln\alpha}(\alpha>0,\alpha\ne0)$$ $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\tan x)'=\sec^2x$$ $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\cot x)'=-\csc^2x$$ $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\sec x)'=\sec x\tan x$$ $$(\csc x)'=-\csc x\cot x$$ $$\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$ $$\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

2. 参数方程

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{\left[x'\left(t\right)\right]^3}$$

3. 反函数

$$y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x'_y}$$ $$y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dy}\cdot\frac{1}{x'_y}=-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3}$$

4. 变限积分求导公式

$$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$$ $$F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)$$

5. 莱布尼茨公式

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$$

6. 曲率

$$曲率：k=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^\frac{3}{2}}$$ $$极坐标：k=\frac{r^2+2r'^2-rr''}{(r^2+r'^2)^\frac{3}{2}}$$ $$曲率中心：(x-\frac{y'(y'^2+1)}{y''},x+\frac{y'^2+1}{y''})$$

十、积分公式

1. 不定积分

$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$ $$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C~(a>0且a\ne0)$$ $$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$$ $$\int\cot xdx=\ln|\sin x|+C$$ $$\int\frac{1}{\cos x}dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$ $$\int\frac{dx}{\sin x}=\ln|\csc x-\cot x|+C$$ $$\int\sec^2xdx=\tan x+C$$ $$\int\csc^2xdx=-\cot x+C$$ $$\int\sec x\tan xdx=\sec x+C$$ $$\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C$$ $$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$ $$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C(a>0)$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C(a>0)$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|)$$ $$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$$ $$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$$ $$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(a>|x|\ge0)$$ $$\int\sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$$ $$\int\cos^2xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$$ $$\int\tan^2xdx=\tan x-x+C$$ $$\int\cot^2xdx=-\cot x-x+C$$

2. 定积分

$$偶函数：\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$ $$奇函数：\int_{-a}^a=0$$ $$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx=\pi\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx$$ $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x)dx$$ $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x,\cos x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x,\sin x)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sin t)\cdot\frac{b-a}{2}\cos tdt$$ $$\int_1^{xy}f(t)dt=x\int_1^yf(t)dt+y\int_1^xf(t)dt$$

3. 分部积分法

$$\int udv=uv-\int vdu.$$ $$\int uv^{(n+1)}dx=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\cdots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx.$$

4. 区间再现公式

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^\frac{a+b}{2}[f(x)+f(a+b-x)]dx$$

5. 华里士公式

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}\cdot1 & n为大于1的奇数 \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\int_0^\pi\sin^nxdx= \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}\cdot1 & n为大于1的奇数 \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\int_0^\pi\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} 0 & n为正奇数 \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} \int_0^{2\pi}\sin^nxdx \\ \int_0^{2\pi}\cos^nxdx \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} 0 & n为正奇数 \\ 4\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$

6. 区间简化公式

$$\int_a^bf(x)dx=\int_0^1(b-a)f\left[a+(b-a)t\right]dt$$ $$\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a\left[f(x)+f(-x)\right]dx(a>0)$$

7. 应用

① 面积：

$$S=\int_a^b|y_1(x)-y_2(x)|dx$$ $$S=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta|r_1^2(\theta)-r_2^2{\theta}|d\theta$$ $$S=\int_a^by(t)dx(t)=\int_\alpha^\beta|y(t)\cdot x'(t)|dt$$ $$椭圆面积公式：S=\pi ab$$

② 体积

$$绕x轴：V=\int_a^b\pi y^2(x)dx$$ $$绕y轴：V=2\pi\int_a^bx|y(x)|dx$$

③ 均值

$$\bar{y}=\frac{1}{b-a}\int_a^by(x)dx，注：平均值是积分中值定理中的\xi$$

④弧长

$$s=\int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$$ $$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$$ $$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$$

⑤表面积

$$y(x)绕x轴：S=2\pi\int_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$$ $$y(t)绕x轴：S=2\pi\int_a^b|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dx$$

⑥形心

$$\bar{x}=\frac{\iint\limits_{D}xd\sigma}{\iint\limits_{D}d\sigma}=\frac{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}xdy}{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}dy}=\frac{\int_a^bxf(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}$$ $$\bar{y}=\frac{\iint\limits_{D}yd\sigma}{\iint\limits_{D}d\sigma}=\frac{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}ydy}{\int_a^bdx\int_0^{f(x)}dy}=\frac{\frac{1}{2}\int_a^bf^2(x)dx}{\int_a^bf(x)dx}$$

⑦平行截面面积

$$V=\int_b^aS(x)dx$$

十一、中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则：

1. 有界与最值定理

$m\le f(x)\le M$ ，其中 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值。

2. 介值定理

当 $m\le \mu\le M$ 时，存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得 $f(\xi)=\mu$ 。

3. 平均值定理

当 $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使： $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

4. 零点定理

当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

5. 费马定理

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 点处满足 ① 可导，② 取极值，则 $f’(x_0)=0$ 。

6. 罗尔定理

设 $f(x)$ 满足 ① $[a,b]$ 上连续，② $[a,b]$ 内可导，③ $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $f’(\xi)=0$ 。

7. 拉格朗日中值定理

设 $f(x)$ 满足 ① $[a,b]$ 上连续，② $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得： $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 或者写成： $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

8. 柯西中值定理

设 $f(x), g(x)$ 满足 ① $[a,b]$ 上连续，② $(a,b)$ 内可导，③ $g’(x)\ne0$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

9. 泰勒公式

1）带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式：

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内 $n+1$ 阶导数存在，则对该邻域内的任一点 $x$ ，有：$f(x)=f(x_n)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 其中 $\xi$ 介于 $x,x_0$ 之间。

2）带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式：

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域中的任一点 $x$ ，有：$f(x)=f(x_n)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

10. 积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得：$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$

11. 二重积分中值定理

设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则存在 $\mu,\xi\in D$ ，使得：$\iint\limits_{D}^{}f(x,y)d\sigma=f(\mu,\xi)\cdot\sigma$

十二、函数图像

1. 心形线

$$r=a(1-cosθ)(a>0)$$

$$r=a(1+cosθ)(a>0)$$

2. 玫瑰线

$$r=asin3θ(a>0)$$

3. 阿基米德螺线

$$r=aθ(a>0,θ>=0)$$

4. 伯努利双扭线

$$r²=2a²cos2θ$$ $$r²=a²cos2θ$$

$$r²=a²sin2θ$$

5. 摆线

$$\left\{\begin{matrix} x=r(t-sint) \\ y=r(1-cost) \end{matrix}\right.$$

6. 星形线

$$x⅔+y⅔=r⅔$$ $$\left\{\begin{matrix} x=rcos³t \\ y=rsin³t \end{matrix}\right.$$

十三、微分方程

1. 齐次线性微分方程的通解

1. 若$p^2-4q>0$，则$\lambda_1\ne\lambda_2$是特征方程的两个不等实根，则通解为： $$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$
2. 若$p^2-4q=0$，则$\lambda_1=\lambda_2$是特征方程的两个相等实根，则通解为： $$y=\left(C_1+C_2x\right)e^{\lambda x}$$
3. 若$p^2-4q<0$，设$\alpha\pm\beta i$是特征方程的一堆共轭复根，则通解为： $$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x}\right)$$

   2. 非齐次线性微分方程的特解

4. 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解要设为： $$y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$$其中： $$\left\{\begin{matrix} e^{\alpha x}照抄 \\ Q_n(x)为x的n次一般多项式 \\ k=\left\{\begin{matrix} 0,&\alpha\ne\lambda_1,\alpha\ne\lambda_2 \\ 1,&\alpha=\lambda_1或\alpha=\lambda_2 \\ 2,&\alpha=\lambda_1=\lambda_2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$
5. 当自由项$f(x)=e^{\alpha x}\left[P_m(x)\cos{\beta x}+P_n(x)\sin{\beta x}\right]$时，特解要设为： $$y^*=e^{\alpha x}\left[Q_l^{(1)}(x)\cos{\beta x}+Q_l^{(2)}(x)\sin{\beta x}\right]x^k$$ 其中： $$\left\{\begin{matrix} e^{\alpha x}照抄 \\ l=\max(m,n),Q_l^{(1)}(x),Q_l^{(2)}(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式 \\ k=\left\{\begin{matrix} 0, & \alpha\pm\beta i不是特征根 \\ 1, & \alpha\pm\beta i是特征根 \end{matrix}\right. \\ \end{matrix}\right.$$