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一、研究对象
1. 祖孙三代
函数、导数、积分。
2. 分段函数
3. 参数方程
直角坐标和极坐标。
4. 隐函数
二、研究内容
1. 切线、法线、截距
切线斜率为一阶导数，法线斜率为切线斜率的负倒数，带值计算即可得到截距。
2. 极值、单调性
一阶导判单调性，一阶导存在且为 0 判极值，也就是说一阶导若不存在，则极值不存在。
1）判别极值的第一充分条件：
- 目标点处一阶导为 0；
- 目标点处两边一阶导数异号。
2）判别极值的第二充分条件：
- 目标点处二阶可导，且一阶导为 0 ，二阶导不为 0 ；
- 二阶导大于 0 ，取得极小值；
- 二阶导小于 0 ，取得极大值。
3）判别极值的第三充分条件：
- 目标点处 n 阶可导，且前 n-1 阶导数为 0 ，n 阶导数不为 0 ；
- n 为偶数，且 n 阶导数大于 0 ，取得极小值；
- n 为偶数，且 n 阶导数小于 0 ，取得极大值；
3. 拐点，凹凸性
将函数两端点所连直线的大小与函数中点的大小进行比较，若前者大于后者，则函数为凹的，反之为凸的。
连接曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。
二阶导判凹凸性，二阶导存在且为 0 判拐点，也就是说二阶导若不存在，则拐点不存在。
1）判断拐点的第一充分条件：
- 目标点处二阶导为 0 ；
- 目标点处二阶导数异号。
2）判断拐点的第二充分条件：
- 目标点处（邻域）函数三阶可导；
- 目标点处二阶导为 0 ；
- 目标点处三阶导不为 0 。
3）判断拐点的第三充分条件：
- 目标点处 n 阶可导；
- 前 n-1 阶导数为 0 ，n 阶导数不为 0 ；
- n 为奇数。
4. 渐近线
1）铅锤渐近线：
若 $\lim_{x\to x^+_0}f(x)=\infty$ （或 $\lim_{x\to x^-_0}f(x)=\infty$ ），则 $x=x_0$ 为一条铅锤渐近线。2）水平渐近线：
若 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_1$ ，则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线；
若 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_2$ ，则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线；
若 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0$ ，则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线。3）斜渐近线：
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1$ ，$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-k_1x]=b_1$ ，则 $y=k_1x+b_1$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线；
若 $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2$ ，$\lim_{x\to-\infty}[f(x)-k_2x]=b_2$ ，则 $y=k_2x+b_2$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线；
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k$ ，$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=b$ ，则 $y=kx+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线。5. 最值
极值不一定是最值，分界点、端点等可疑点也有可能是最值。6. 曲率与曲率半径
7. 相关变化率
根据物理规律处理相关数据，最终得到正确的模型。