一元函数微分学的概念与计算

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一元函数微分学的概念与计算

一、导数定义

二、微分定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义,且 $x_0+\triangle x$ 在该邻域内,对于函数增量 $\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$ ,若存在与 $\triangle x$ 无关的常数 $A$ ,使得 $\triangle y=A\triangle x+o(\triangle x)$ ,其中 $o(\triangle x)$ 是在 $\triangle x\to 0$ 时比 $\triangle x$ 更高阶的无穷小,则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微,并称 $A\triangle x$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分,记作 $dy|_{x=x_0}=A\triangle x$ 或者 $df(x)|_{x=x_0}=A\triangle x$ 。又 $\triangle x=dx$ ,故 $dy|_{x=x_0}=Adx$ 。

三、计算

1. 基本求导公式

2. 复合函数求导

设 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导,$y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 处可导,则:

3. 隐函数求导

等号两边同时对自变量求导即可。

4. 反函数求导

5. 分段函数求导

分段点用定义法,非分段点用公式法。

6. 多项乘除、开方、乘方求导

使用对数求导法,将复杂函数的项转化为对数中的加减项处理。

7. 幂指函数求导

将幂指函数转化为指数函数求导。

8. 参数方程求导

9. 变限积分求导

10. 高阶导数求导

  • 数学归纳法处理
  • 考研数学常用基础知识(麦克劳林展开)
  • 使用莱布尼茨公式: