一元函数积分学的计算

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一、基本积分公式

$$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$ $$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C~(a>0且a\ne0)$$ $$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$$ $$\int\cot xdx=\ln|\sin x|+C$$ $$\int\frac{1}{\cos x}dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$$ $$\int\frac{dx}{\sin x}=\ln|\csc x-\cot x|+C$$ $$\int\sec^2xdx=\tan x+C$$ $$\int\csc^2xdx=-\cot x+C$$ $$\int\sec x\tan xdx=\sec x+C$$ $$\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C$$ $$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$ $$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C(a>0)$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C(a>0)$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$$ $$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|)$$ $$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$$ $$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$$ $$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(a>|x|\ge0)$$ $$\int\sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$$ $$\int\cos^2xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$$ $$\int\tan^2xdx=\tan x-x+C$$ $$\int\cot^2xdx=-\cot x-x+C$$

二、不定积分的计算

1. 凑微分法

$$\int f[g(x)]g'(x)dx=\int f[g(x)]d[g(x)]=\int f(u)du.$$

2. 换元法

$$\int f(x)dx=^{x=g(u)}\int f[g(u)]d[g(u)]=\int f[g(u)]g'(u)du.$$

3. 分部积分法

$$\int udv=uv-\int vdu.$$ $$\int uv^{(n+1)}dx=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\cdots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx.$$

4. 有理函数的积分

将形如 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx(n<m)$ 的式子用因式分解的方法拆分为多项之和（差），再进行积分。

三、定积分的计算

1. 基本公式

$$偶函数：\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$ $$奇函数：\int_{-a}^a=0$$ $$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx=\pi\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx$$ $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x)dx$$ $$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x,\cos x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x,\sin x)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sin t)\cdot\frac{b-a}{2}\cos tdt$$ $$\int_1^{xy}f(t)dt=x\int_1^yf(t)dt+y\int_1^xf(t)dt$$

2. 区间再现公式

$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$$ $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^\frac{a+b}{2}[f(x)+f(a+b-x)]dx$$

3. 华里士公式

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}\cdot1 & n为大于1的奇数 \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\int_0^\pi\sin^nxdx= \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}\cdot1 & n为大于1的奇数 \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\int_0^\pi\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} 0 & n为正奇数 \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix} \int_0^{2\pi}\sin^nxdx \\ \int_0^{2\pi}\cos^nxdx \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} 0 & n为正奇数 \\ 4\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$$

4. 区间简化公式

$$\int_a^bf(x)dx=\int_0^1(b-a)f\left[a+(b-a)t\right]dt$$ $$\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a\left[f(x)+f(-x)\right]dx(a>0)$$

5. 含三角函数的积分等式

$$\sin{(\pi\pm t)}=\mp\sin t$$ $$\cos{(\pi\pm t)}=-\cos t$$ $$\sin{(\frac{\pi}{2}\pm t)}=\cos t$$ $$\cos{(\frac{\pi}{2}\pm t)}=\mp\sin t$$

6. 对称性问题、分段函数问题

需结合相关例题理解

四、变限积分的计算

$$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$$ $$F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)$$

五、反常积分的计算

考虑对反常积分进行换元，将其化为定积分处理，或是在求解过程中用极限的思想来解决瑕点的问题。