中值定理

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一、中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则：

1. 有界与最值定理

$m\le f(x)\le M$ ，其中 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值。

2. 介值定理

当 $m\le \mu\le M$ 时，存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得 $f(\xi)=\mu$ 。

3. 平均值定理

当 $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使： $f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$

4. 零点定理

当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

5. 费马定理

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 点处满足 ① 可导，② 取极值，则 $f’(x_0)=0$ 。

6. 罗尔定理

设 $f(x)$ 满足 ① $[a,b]$ 上连续，② $[a,b]$ 内可导，③ $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得 $f’(\xi)=0$ 。

7. 拉格朗日中值定理

设 $f(x)$ 满足 ① $[a,b]$ 上连续，② $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得： $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$ 或者写成： $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

8. 柯西中值定理

设 $f(x), g(x)$ 满足 ① $[a,b]$ 上连续，② $(a,b)$ 内可导，③ $g’(x)\ne0$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使得：$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

9. 泰勒公式

1）带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式：

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内 $n+1$ 阶导数存在，则对该邻域内的任一点 $x$ ，有：$f(x)=f(x_n)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ 其中 $\xi$ 介于 $x,x_0$ 之间。

2）带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式：

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域中的任一点 $x$ ，有：$f(x)=f(x_n)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}f^{''}(x_0)(x-x_0)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)$

10. 积分中值定理

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in[a,b]$ ，使得： $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$

11. 二重积分中值定理

设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则存在 $\mu,\xi\in D$ ，使得：$\iint\limits_{D}^{}f(x,y)d\sigma=f(\mu,\xi)\cdot\sigma$