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一、定义
1. 定义：
含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次齐次函数
称为 $n$ 元二次型。若规定 $a_{ij}=a_{ji},\forall i,j=1,2,\cdots,n$ ，则二次型有矩阵表示 其中 $x=[x_1,x_2,\cdots,x_n],A=[a_{ij}]$ 且 $A^T=A$ 是对称矩阵，称 $A$ 为二次型的矩阵。秩 $r(A)$ 称为二次型的秩，记为 $r(f)$ .
2. 定义：
如果二次型中只含有变量的平方项，所有混合项 $x_ix_j(i\ne j)$ 的系数全是 0 ，即： 这样的二次型称为标准型。
在标准型中，若平方项的系数 $d_j$ 为 1 ，-1 或 0 ，即： 则称其为二次型的规范型。
3. 定义：
在二次型 $x^TAx$ 的标准型中，正平方项的个数 $p$ 称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数 $q$ 称为二次型的负惯性指数。
4. 定义：
如果 满足 称该式为由 $x=[x_1,x_2,x_3]^T$ 到 $y=[y_1,y_2,y_3]^T$ 的坐标变换。
注：该式（坐标变换）用矩阵表示： 或 其中 $C$ 是可逆矩阵。
5. 定义：
两个 $n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩阵 $C$ ，使得： 就称矩阵 $A$ 和 $B$ 合同，记作 $A\simeq B$ . 并称由 $A$ 和 $B$ 的变换为合同变换，称 $C$ 为合同变换的矩阵。
6. 定义：
对二次型 $x^TAx$ ，如果对任何 $x\ne0$ ，恒有 $x^TAx>0$ ，则称二次型 $x^TAx$ 是正定二次型，并称实对称矩阵 $A$ 是正定矩阵。
二、定理
1. 定理：
变量 $x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$ 的 $n$ 元二次型 $x^TAx$ 经坐标变换 $x=Cy$ 后，化为变量 $y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T$ 的 $n$ 元二次型 $y^TBy$ ，其中 $B=C^TAC$ 。
注意，$n$ 元二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx$ 经坐标变换 $x=Cy$ ，有： 其中 $B=C^TAC$ .
因为： 说明 $y^TBy$ 是二次型的矩阵表示。即以 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 为自变量的二次型经坐标变换 $x=Cy$ 化为以 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 为自变量的二次型。二次型矩阵由 $A$ 转换为 $B$ ，经坐标变换二次型矩阵是合同的。
特别地，若 $x=Cy$ 是正交变换，即 $C$ 是正交矩阵，则有： 即经过正交变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。
2. 定理：
任意的 $n$ 元二次型 $x_TAx$ 都可以通过坐标变换化为标准形： 其中 $d_i(i=1,2,\cdots,n)$ 是实数。
3. 定理：
任一 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，总可以合同于一个对角矩阵，即：
4. 惯性定理：
对于一个二次型，不论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其中正平方项的个数 $p$ ，负平方项的个数 $q$ 都是由所给二次型唯一确定的。
若二次型 $x^TAx$ 经坐标变换 $x=Cy$ 化为二次型 $y^TBy$ ，则有等价组：
- $C^TAC=B$ .
- $p_A=p_B,q_A=q_B$ .
- $x_TAx$ 与 $y^TBy$ 有相同的规范型。
5. 定理：
对任一个 $n$ 元二次型 $x^TAx$ ，其中 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，必存在正交变换 $x=Qy$ （ $Q$ 是正交矩阵），使得 $x^TAx$ 化为标准形： 这里 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值。6. 定理：
$n$ 元二次型 $x^TAx$ 正定的充分必要条件有： - $A$ 的正惯性指数是 $n$ ；
- $A$ 与 $E$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ ，使 $C^TAC=E$ ；
- $A$ 的所有特征值 $\lambda(i=1,2,\cdots,n)$ 均为正数；
- $A$ 的各阶顺序主子式均大于 0 。
推论：$x^TAx$ 正定的必要条件是：
- $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n)$ ；
- $|A|>0$ .