函数极限与连续性

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函数极限与连续性

一、函数极限的定义及使用

若极限存在:

  1. 极限是常数;
  2. 极限具有唯一性,即左右极限相等;
  3. 局部有界性;
  4. 局部保号性;
  5. 等式脱帽法:$f(x)=A+\alpha, 其中\lim_{x \to \cdot} \alpha=0.$

    二、函数极限的计算

    1. 化简(等价无穷小替换、恒等变形)

    2. 洛必达法则

    3. 泰勒公式

    4. 无穷小比阶

    分别对应高阶无穷小、同阶无穷小和低阶无穷小。

    三、函数极限的存在性

    此类通常为证明题,对于具体型,需采用洛必达法则处理,对于抽象型,需采用单调有界准则处理。
    单调有界准则:若 $x\to+\infty$ 时,$f(x)$ 单调增加(减少)且 $f(x)$ 有上界(下界),则 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在。

    四、函数极限的应用

    1. 连续性

  6. 内点处:若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$,其中 $x_0\in(a,b)$,则称 $f(x)$在$x=x_0$ 处连续;
  7. 端点处:设 $x\in[a,b]$,若$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$,则称 $f(x)$ 在 $x=a$ 处右连续;若 $\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$,则称 $f(x)$ 在 $x=b$ 处左连续。

    2. 间断

    前提:$f(x)$在$x=x_0$左、右两侧均有定义,对于① $\lim_{x\to x^+_0}f(x)$;② $\lim_{x\to x^-_0}f(x)$;③ $f(x_0)$.
  8. 若 ①,② 均存在但 ① 不等于 ②,则 $x_0$ 为跳跃间断点;
  9. 若 ①,② 均存在且 ① 等于 ② 但不等于③,则 $x_0$ 为可去间断点;
  10. 若 ①,② 至少有一个不存在且等于无穷,则 $x_0$ 为无穷间断点;
  11. 若 ①,② 至少有一个不存在且振荡,则 $x_0$ 为振荡间断点。

其中前两条组成第一类间断点,后两条组成第二类间断点。