多元函数微分学

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一、概念

1. 极限

洛必达失效，需根据$x$与$y$的关系求解，可以令$y=f(x)$进行特判反证极限不存在，或利用夹逼准则判定极限存在。

2. 连续

求函数分段点极限

3. 偏导数

利用定义法判定存在

4. 可微

1. 写出全增量：$\Delta z=f(x_0+ \Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$
2. 写出线性增量：$A\Delta x+B\Delta y$其中$A=f_x'(x_0,y_0)，B=f_y'(x_0,y_0)$
3. 作极限：$\lim_{x \to 0 ,y \to 0}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$若该极限等于0，则$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，否则不可微

   5. 偏导数连续

4. 用定义法求：$f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0)$
5. 用公式法求：$f_x'(x,y),f_y'(x,y)$
6. 计算：$\lim_{x \to x_0,y \to y_0}f_x'(x,y),\lim_{x \to x_0,y \to y_0}f_y'(x,y)$若分别相等则连续

   二、复合函数求导法

   1. 链式求导法则

   2. 全导数

   3. 全微分形式不变性

   三、隐函数求导法

   1. 一个方程的情形

   $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'}$$

   2. 方程组的情形

   $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,z)}}{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}}$$

   四、多元函数的极、最值问题

   1. 无条件极值

7. 一阶偏导为$0$，得出可疑点
8. 二阶偏导为$A,B,C$，计算$\Delta=AC-B^2$
9. 若$\Delta$大于$0$，则存在极值，反之不存在
10. $A>0$为极小值，$A<0$为极大值

    2. 条件极值与拉氏乘数法

11. 将限定条件作为约束
12. 令一阶导为$0$，解出方程即为极值

    五、偏微分方程

    1. 已知偏导数（或偏增量）的表达式，求$z=f(x,y)$

    2. 给出变化，化已知偏微分方程为常微分方程，求$f(u)$

    3. 给出变化，化已知偏微分方程为指定偏微分方程及其反问题