微分方程

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一、一阶微分方程的求解

1. 可分离变量型

1. 能写成： $$y'=f(x)\cdot g(y)$$ 则： $$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\\\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$
2. 能写成 $$y'=f(ax+by+c)$$ 令： $$u=ax+by+c$$ 则： $$u'=a+bf(u)\\\frac{du}{a+bf(u)}=dx\\\int\frac{du}{a+bf(u)}=\int dx$$

   2. 齐次型

3. 能写成： $$y'=f(\frac{y}{x})$$ 令： $$u=\frac{y}{x}\\y=ux\\\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$ 则： $$x\frac{du}{dx}+u=f(u)\\\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}$$
4. 能写成 $$\frac{1}{y'}=f(\frac{x}{y})$$ 令： $$u=\frac{x}{y}\\x=uy\\\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}$$ 则： $$y\frac{du}{dy}+u=f(u)\\\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dy}{y}\\\int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dy}{y}$$

   3. 一阶线性型

   能写成： $$y'+p(x)y=q(x)$$ 则： $$e^{\int p(x)dx}\cdot y'+e^{\int p(x)dx}p(x)\cdot y=e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)\\\left[e^{\int p(x)dx}\cdot y\right]'=e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)\\e^{\int p(x)dx}\cdot y=\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C\\y=e^{-\int p(x)dx}\left[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C\right]$$

   二、二阶可降阶微分方程的求解

   1. 赶尽杀绝$y$

   能写成： $$y''=f(x,y')$$ 缺$y$，令： $$y'=p,y''=p'\\\frac{dp}{dx}=f(x,p)$$ 则解为： $$p=\varphi(x,C1)$$ 即$y’=\varphi(x,C1)$，通解为： $$y=\int\varphi(x,C1)dx+C2$$

   2. 斩草除根$x$

   能写成： $$y''=f(y,y')$$ 缺$x$，令： $$y'=p,y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p\\p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$$ 若求得其解为$p=\varphi(y,C1)$，则： $$p=\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C1)$$ 分离变量得： $$\frac{dy}{\varphi(y,C1)=dx}$$ 两边积分： $$\int\frac{dy}{\varphi(y,C1)}=x+C2$$

   三、高阶常系数线性微分方程的求解

   1. 齐次线性微分方程的通解

5. 若$p^2-4q>0$，则$\lambda_1\ne\lambda_2$是特征方程的两个不等实根，则通解为： $$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$$
6. 若$p^2-4q=0$，则$\lambda_1=\lambda_2$是特征方程的两个相等实根，则通解为： $$y=\left(C_1+C_2x\right)e^{\lambda x}$$
7. 若$p^2-4q<0$，设$\alpha\pm\beta i$是特征方程的一堆共轭复根，则通解为： $$y=e^{\alpha x}\left(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x}\right)$$

   2. 非齐次线性微分方程的特解

8. 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解要设为： $$y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$$其中： $$\left\{\begin{matrix} e^{\alpha x}照抄 \\ Q_n(x)为x的n次一般多项式 \\ k=\left\{\begin{matrix} 0,&\alpha\ne\lambda_1,\alpha\ne\lambda_2 \\ 1,&\alpha=\lambda_1或\alpha=\lambda_2 \\ 2,&\alpha=\lambda_1=\lambda_2 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$$
9. 当自由项$f(x)=e^{\alpha x}\left[P_m(x)\cos{\beta x}+P_n(x)\sin{\beta x}\right]$时，特解要设为： $$y^*=e^{\alpha x}\left[Q_l^{(1)}(x)\cos{\beta x}+Q_l^{(2)}(x)\sin{\beta x}\right]x^k$$ 其中： $$\left\{\begin{matrix} e^{\alpha x}照抄 \\ l=\max(m,n),Q_l^{(1)}(x),Q_l^{(2)}(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式 \\ k=\left\{\begin{matrix} 0, & \alpha\pm\beta i不是特征根 \\ 1, & \alpha\pm\beta i是特征根 \end{matrix}\right. \\ \end{matrix}\right.$$

   3. 能写成$y’’+py’+qy=f(x)$

10. 写$\lambda^2+p\lambda+q=0$，写齐次方程的通解
11. 设特解$y’$，代回方程求待定系数，写出特解
12. 写出通解

    4. 能写成$y’’+py’+qy=f_1(x)+f_2(x)$

13. 写$\lambda^2+p\lambda+q=0$，写齐次方程的通解
14. $y’’+py’+qy=f_1(x)$，写出特解$y_1^*$
15. $y’’+py’+qy=f_2(x)$，写出特解$y_2^*$
16. $y_1^+y_2^$为特解
17. 写出通解

    5. 能写成$x^2y’’+pxy’+qy=f(x)$

    用$x=e^t$代换，化为上述情形，解出结果将$x$回代

    6. ${y^{(n)}}’’ (n\ge3)$的情形（反解）

    如： $$y'''+p_1y''+p_2y'+p_3y=0$$ 写为： $$\lambda^3+p_1\lambda^2+p_2\lambda+p_3=0$$
18. 若$\lambda$为单实根，写： $$Ce^{\lambda x}$$
19. 若$\lambda$为$k$重实根，写： $$(C_1+C_2x+C_3x^2+\cdot\cdot\cdot+C_kx^{k-1})e^{\lambda x}$$
20. 若$\lambda$为单复根$\alpha\pm\beta i$，写： $$e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})$$

    四、换元法

21. 求导公式逆用
22. 自变量换元（有提示）
23. 用因变量换元（有提示）
24. 用$x,y$地位互换来换元（有提示）

    五、应用题

    1. 用极限、导数定义或积分等式建立方程

    2. 用几何应用建立方程

25. 曲线切线斜率 $$k=f'(x_0)=\tan\alpha$$
26. 两曲线公切线斜率 $$f'(x_0)=g'(x_0)$$
27. 截距 $$Y-y=y'(X-x) \left\{\begin{matrix} 令Y=0 & X=x-\frac{y}{y'} & (x轴上的截距) \\ 令X=0 & Y=y-xy' & (y轴上的截距) \end{matrix}\right.$$
28. 面积 $$\int_a^bf(x)dx$$
29. 体积 $$V_x=\int_a^b\pi f^2(x)dx,V_y=\int_a^b2\pi x|f(x)|dx$$
30. 平均值 $$\overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_b^af(x)dx=f(\xi)$$
31. 弧长 $$L=\int_a^b\sqrt{1+(y_x')^2}dx$$
32. 侧面积 $$S=\int_a^b2\pi|y(x)|\sqrt{1+(y_x')^2}dx$$
33. 曲率 $$k=\frac{|y''|}{\left[1+(y')^2\right]^\frac{3}{2}}$$
34. 形心 $$\overline{x}=\frac{\iint_Dxd\sigma}{\iint_Dd\sigma},\overline{y}=\frac{\iint_Dyd\sigma}{\iint_Dd\sigma}$$

    3. 用变化率建立方程

35. 元素衰变问题
36. 人口增长问题
37. 曳物线问题
38. 冷却定律
39. 牛顿第二定律
40. 经济问题