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一、概念与应用
由 $A\sim B$ 可知：
- $A+kE\sim B+kE$ ，进而 $|A+kE|=|B+kE|$ ，$r(A+kE)=r(B+kE)$ .
- $A^n\sim B^n$ ，进而 $A^n=PB^nP^{-1}$
由 $P_1^{-1}AP_1=B,P_2^{-1}BP_2=C\Rightarrow P^{-1}AP=C$ ，其中 $P=P_1P_2$ .
应用表：
| $A$ | $kA+E$ | $A+kE$ | $A^{-1}$ | $A^*$ | $A^n$ | $P^{-1}AP$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\lambda$ | $k\lambda+1$ | $\lambda+k$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{丨A丨}{\lambda}$ | $\lambda^n$ | $\lambda$ |
| $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $\alpha$ | $P^{-1}\alpha$ |
二、定义
- 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果存在一个数 $\lambda$ 及非零的 $n$ 维列向量 $\alpha$ ，使得 $A\alpha=\lambda\alpha$ 成立，则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值，称非零向量 $\alpha$ 是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。
- 设 $A=[a_{ij}]$ 为一个 $n$ 阶矩阵，则行列式 $|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n} \\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n} \\ \vdots&\vdots&&\vdots \\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}$ 称为矩阵 $A$ 的特征多项式，$|\lambda E-A|=0$ 称为 $A$ 的特征方程。
- 设 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=B$ ，则称矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，记作 $A\sim B$ . 特别地，如果 $A$ 能与对角矩阵相似，则称 $A$ 可对角化。
三、定理
1. 定理：
如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_t$ 都是矩阵 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量，那么当 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_t\alpha_t$ 非零时，$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_t\alpha_t$ 仍是矩阵 $A$ 属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。2. 定理：
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是矩阵 $A$ 的特征值，则：
- $\sum\lambda_i=\sum a_{ii}$ ；
- $|A|=\prod\lambda_i$ ；
3. 定理：
如果 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 是矩阵 $A$ 的互不相同的特征值，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 分别是与之对应的特征向量，则 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关。4. 定理：
如果 $A$ 是 $m$ 阶矩阵，$\lambda_i$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征值，则属于 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量的个数不超过 $m$ 个。5. 定理：
如果 $m$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 由相同的特征多项式，从而 $A$ 与 $B$ 由相同的特征值。
即若 $A\sim B$ ，则 $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ .
6. 定理：
$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
7. 定理：
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则 $A$ 可相似对角化，且 $A\sim\begin{bmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$
8. 定理：
$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充分必要条件是对于 $A$ 的每个特征值，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即有等价组：
- $A\sim\Lambda$ .
- $\lambda_i$ 是 $A$ 的 $n_i$ 重特征值，则 $\lambda_i$ 有 $n_i$ 个线性无关的特征向量。
- 秩 $r(\lambda_i E-A)=n-n_i,\lambda_i$ 为 $n_i$ 重特征值。
9. 定理：
实对称矩阵 $A$ 的不同特征值 $\lambda_1,\lambda_2$ 所对应的特征向量 $\alpha_1,\alpha_2$ 必正交。10. 定理：
实对称矩阵 $A$ 的特征值都是实数。11. 定理：
$n$ 阶实对称阵 $A$ 必可对角化，且总存在正交阵 $Q$ ，使得：其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $A$ 的特征值。12. Schmidt 正交化方法：
如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，令：
那么 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 两两正交，称为正交向量组。将其单位化有：则 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 到 $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 这一过程为 Schmidt 正交化。