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概念

1. 正交矩阵：

$A^T=A^{-1}$ $|A|^2=1$ $行列式的值为1或-1$

2. 可逆矩阵：

$|A|\ne0$ $r(A)=n$ $A的列向量组线性无关$ $A=P_1P_2\cdots P_i$ $A与单位矩阵等价$ $0不是特征值$

公式

1. 可逆

$(A^n)^{-1}=(A^{-1})^n$ $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ $|A^{-1}|=|A|^{-1}=\frac{1}{|A|}$ $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$

2. 伴随

$|A^*|=|A|^{n-1}$ $\left(A^*\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^*=\frac{1}{|A|}A$ $\left(A^*\right)^T=\left(A^T\right)^*$ $\left(kA\right)^*=k^{n-1}A^*$ $\left(A^*\right)^*=|A|^{n-2}A$ $r\left(A^*\right)= \left\{\begin{matrix} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)<n-1 \end{matrix}\right.$ $A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2$

3. 秩

$r(A)=r(A^T)$ $r(A^TA)=r(A)$ $当k\ne 0时：r(kA)=r(A)$ $r(A+B)\le r(A)+r(B)$ $r(AB)\le \min(r(A),r(B))$ $若A是m\times n矩阵,B是n\times s矩阵,AB=O,则：r(A)+r(B)\le n$ $r\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix} =r(A)+r(B)$ $若A\sim B,则r(A)=r(B),r(A+kE)=r(B+kE)$ $AB等价\Leftrightarrow r(A)=r(A|B)=r(B)\Leftrightarrow 互相表出$ $若A可逆，则r(AB)=r(B)$

4. 分块矩阵

$\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} ^T= \begin{bmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} B & O \\ O & C \end{bmatrix} ^{-1}= \begin{bmatrix} B^{-1} & O \\ O & C^{-1} \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} O & B \\ C & O \end{bmatrix} ^{-1}= \begin{bmatrix} O & C^{-1} \\ B^{-1} & O \end{bmatrix}$ $A= \begin{bmatrix} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,则A^2= \begin{bmatrix} 0 & 0 & ac \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ $A= \begin{bmatrix} 0 & d & a & b \\ 0 & 0 & e & c \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} ,则A^3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & def \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

运算法则

$AB=O$推不出$A=O,B=O$
$AB=AC,A\ne C$推不出$B=C$
$|AB|=|A|\cdot|B|$