线性方程组

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一、概念

1. 方程组 (1) $$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1, \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2, \\ \vdots~~~~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~~~\vdots \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m.\end{matrix}\right.$$ 称为 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的非齐次线性方程组，其中 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 代表 $n$ 个未知量，$m$ 是方程的个数，$m$ 可以等于 $n$ ，也可以大于 $n$ 或者小于 $n$ ，$a_{ij}$ 是第 $i(i=1,2,\cdots,m)$ 个方程中 $x_j(j=1,2,\cdots,n)$ 的系数，$b_i(i=1,2,\cdots,m)$ 是第 $i$ 个方程的常数项。
2. 如果 $b_i=0(\forall i=1,2,\cdots,m)$ ，则称方程组 (2) $$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\\vdots~~~~~~~~~~~~~~~\vdots~~~~~~~~~~~~~~~\vdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0.\end{matrix}\right.$$ 为齐次线性方程组。它是方程组 (1) 的导出组。
3. 若将一组数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 分别代替方程组 (1) 中的 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ，使式 (1) 中 $m$ 个等式都成立，则称有序数组 $[c_1,c_2,\cdots,c_n]$ 是方程组 (1) 的一组解。解方程就是要找出方程组的全部解。
4. 线性方程组 (1) 的全体系数及常数项所构成的矩阵 $\bar A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{bmatrix}$称为方程组 (1) 的增广矩阵，而由全体系数组成的矩阵 $\bar A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$ 称为方程组 (1) 的系数矩阵。
5. 方程组 (1) 可以用矩阵表示为：$Ax=b$ ，其中 $x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$ ，$b=[b_1,b_2,\cdots,b_m]^T$ .
6. 如果两个方程组有相同的解集合，则称它们是同解方程组。

   二、定义

   1. 下列三种变换称为线性方程组的初等变换：

• 用一个非零常数乘方程的两边；
• 把方程的 $k$ 倍加到另一方程上；
• 互换两个方程的位置。

线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后，每个方程中的第一个未知量通常称为主变量，其余的未知量称为自由变量。

2.基础解系：

向量组 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 称为齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，如果：

• $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是 $Ax=0$ 的解；
• $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 线性无关；
• $Ax=0$ 的任一解都可由 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 线性表出。

如果 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一组基础解系，那么对任意常数 $c_1,c_2,\cdots,c_t$ ，$c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots+c_t\eta_t$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的通解。

注意：$Ax=0$ 的基础解系是不唯一的。

三、定理

1. 定理：

线性方程组的初等行变换把线性方程组变成与它同解的方程组。

2. 定理：

设 $n$ 元线性方程组为 (1) ，对它的增广矩阵施行高斯消元法，得到阶梯形矩阵： $\bar A\to\cdots\to\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1r}&\cdots&c_{1n}&|&d_1\\&c_{22}&\cdots&c_{2r}&\cdots&c_{2n}&|&d_2\\&&\ddots&\vdots&&\vdots&|&\vdots\\&&&c_{rr}&\cdots&c_{rn}&|&d_r\\&&&0&\cdots&0&|&d_{r+1}\\&&&&\ddots&\vdots&|&\vdots\\&&&&&0&|&0\end{bmatrix}$
如果 $d_{r+1\ne0}$ ，方程组 (1) 无解；如果 $d_{r+1}=0$ ，方程组有解，而且当 $r=n$ 时有唯一解，当 $r<n$ 时有无穷多解。

3. 等价组：

• 齐次方程组 (2) 有非零解；
• $r(A)<n$ ；
• $A$ 的列向量线性相关。
• 推论：当 $m<n$ （即方程的个数 < 未知数的个数）时，齐次线性方程组 (2) 必有非零解。
• 推论：当 $m=n$ 时，齐次线性方程组 (2) 有非零解的充分必要条件是行列式 $|A|=0$ 。

  4. 定理：

  设齐次线性方程组 (2) 系数矩阵的秩 $r(A)=r<n$ ，则 $Ax=0$ 的基础解系由 $n-r(A)$ 个线性无关的解向量所构成。

  5. 有解判定定理：

  非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即 $r(A)=r(\bar A)$.

若 $r(A)=r(\bar A)=n$ ，则方程组有唯一解；

若 $r(A)=r(\bar A)<n$ ，则方程组有无穷多解。

等价组：

• 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 无解；
• $r(A)+1=r(\bar A)$ ；
• $b$ 不能由 $A$ 的列向量线性表出。

  6. 解的性质：

• 如果 $\eta_1,\eta_2$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的两个解，那么其线性组合仍是该齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。
• 如果 $\alpha,\beta$ 是线性方程组 $Ax=b$ 的两个解，则 $\alpha-\beta$ 是导出组 $Ax=0$ 的解。
• 如果 $\alpha$ 是线性方程组 $Ax=b$ 的解，$\eta$ 是导出组 $Ax=0$ 的解，则 $\alpha+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。

  7. 解的结构：

  对非齐次线性方程组 $Ax=b$ ，若 $r(A)=r(\bar A)=r$ ，且已知 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$ 是导出组 $Ax=b$ ，$\xi_0$ 是 $Ax=b$ 的某个已知解，则 $Ax=b$ 的通解为：$\xi_0+c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r}$其中 $c_1,c_2,\cdots,c_{n-r}$ 为任意常数。