行列式

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一、重要概念

1. 逆序数判定正负号
2. 余子式、代数余子式与值无关
3. 克拉默法则： $$x_i=\frac{D_i}{D}$$ 推论1：若$|A|\ne0$，则方程只有零解
   推论2：若方程有非零解，则$|A|=0$
4. 秩： $$r(A)=0\Leftrightarrow A=O$$ $$A\ne O\Leftrightarrow r(A)\ge1$$ 若$A$为$m\times n$矩阵，则： $$r(A)\le \min{(m,n)}$$

   二、重要公式

5. 公式： $$AA^*=A^*A=|A|E$$
6. 四阶以上副对角线符号判定： $$|A|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}a_{n1}$$
7. 拉普拉斯展开式： $$\begin{vmatrix} A & * \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ {*} & B \end{vmatrix} =|A|\cdot|B| \\ \begin{vmatrix} O & A \\ B & * \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {*} & A \\ B & O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A|\cdot|B|$$
8. 范德蒙行列式： $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ x_1^n & x_2^n & \dots & x_n^n \\ \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)$$
9. 行列式公式： $$|A^T|=|A|$$ $$|kA|=k^n|A|$$ $$|AB|=|A||B|$$ $$|A^*|=|A|^{n-1}$$ $$|A^{-1}|=|A|^{-1}$$ $$|A|=\prod_{i=1}^{n}\lambda_i$$ 若A与B相似，则： $$|A|=|B|$$