n 维向量

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N维向量

一、概念和应用

n 个数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 所组成的有序数组 $\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T$ 或 $\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]$ 称为 n 维向量，其中 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 称为向量 $\alpha$ 的分量（或坐标），前一个表示称为列向量，后者称为行向量。

设 n 维向量 $\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^T,\beta=[b_1,b_2,\cdots,b_n]^T$ ，则：

1. 向量加法

2. 数乘向量

3. 向量乘积

二、定义

  1. 设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 n 维向量，$k_1,k_2,\cdots,k_n$ 是一组实数，称 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 的线性组合。
  2. 对 n 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 和 $\beta$ ，若存在实数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$ ，使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\beta$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的线性组合，或者说 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表出。
  3. 对 n 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ ，如果存在不全为 0 的数使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$ ，则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关，否则，称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关。
  4. 设有两个 n 维向量组 (Ⅰ) $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ ；(Ⅱ) $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ ；如果 (Ⅰ) 中每个向量 $\alpha_i(i=1,2,\cdots,s)$ 都可由 (Ⅱ) 中的向量 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性表出，则称向量组 (Ⅰ) 可由向量组 (Ⅱ) 线性表出。如果这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。
  5. 在向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 中，若存在 r 个向量 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性无关，再加任一个向量 $\alpha_j(j=1,2,\cdots,s)$ ，向量组 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r},\alpha_j$ 就线性相关，则称 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的一个极大线性无关组。
  6. 向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的极大线性无关组中所含向量的个数 r 称为这个向量组的秩。

    三、定理

    1. 等价组：

  • 向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表出；
  • 非齐次线性方程组 $[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_s \end{bmatrix} = \beta$ 有解；
  • 秩 $r[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]=r[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta]$ .

    2. 等价组：

  • 向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关；
  • 齐次线性方程组 $[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_s \end{bmatrix} = 0$ 有非零解；
  • 向量组的秩 $r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)<s$ .
  • 推论：$n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 线性相关的充分必要条件是行列式 $|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0$ .
  • 推论：$n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关。

    3. 定理：

  • 任何部分组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 相关等价于整体组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\cdots,\alpha_s$ 相关。
  • 整体组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\cdots,\alpha_s$ 无关等价于任何部分组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 无关。

    4. 定理：

  • $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关等价于延伸组 $\tilde{\alpha_1},\tilde{\alpha_2},\cdots,\tilde{\alpha_m}$ 线性无关。
  • $\tilde{\alpha_1},\tilde{\alpha_2},\cdots,\tilde{\alpha_m}$ 线性相关等价于缩短组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性相关。

    5. 定理：

    如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s(s\ge2)$ 线性相关，则其中必有一个向量可用其余的向量线性表出；反之，若有一个向量可用其余的 $s-1$ 个向量线性表出，则这 $s$ 个向量必线性相关。

    6. 定理：

    如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表出，且表示法唯一。

    7. 定理：

  • 如果向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性表出，而且 $s>t$ ，那么 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关。即如果多数向量能用少数向量线性表出，那么多数向量一定线性相关。
  • 推论：如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关，且它可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性表出，则 $s\le t$ .

    8. 定理：

  • 设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 线性表出，则 $r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\le r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t)$ .
  • 推论：等价向量组的秩相等。

    9. 定理：

  • 如果 $r(A)=r$ ，则 $A$ 中有 $r$ 个线性无关的列向量，而其他列向量都是这 $r$ 个线性无关列向量的线性组合，也就是 $r(A)=A$ 的列秩。
  • 一般地，$r(a)=A$ 的行秩 $=A$ 的列秩。