目录:点我
思维导图下载:点我
一、研究对象
1. 祖孙三代
函数、导数、积分。
2. 分段函数
3. 参数方程
直角坐标和极坐标。
4. 隐函数
二、研究内容
1. 切线、法线、截距
切线斜率为一阶导数,法线斜率为切线斜率的负倒数,带值计算即可得到截距。
2. 极值、单调性
一阶导判单调性,一阶导存在且为 0 判极值,也就是说一阶导若不存在,则极值不存在。
1)判别极值的第一充分条件:
- 目标点处一阶导为 0;
- 目标点处两边一阶导数异号。
2)判别极值的第二充分条件:
- 目标点处二阶可导,且一阶导为 0 ,二阶导不为 0 ;
- 二阶导大于 0 ,取得极小值;
- 二阶导小于 0 ,取得极大值。
3)判别极值的第三充分条件:
- 目标点处 n 阶可导,且前 n-1 阶导数为 0 ,n 阶导数不为 0 ;
- n 为偶数,且 n 阶导数大于 0 ,取得极小值;
- n 为偶数,且 n 阶导数小于 0 ,取得极大值;
3. 拐点,凹凸性
将函数两端点所连直线的大小与函数中点的大小进行比较,若前者大于后者,则函数为凹的,反之为凸的。
连接曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点。
二阶导判凹凸性,二阶导存在且为 0 判拐点,也就是说二阶导若不存在,则拐点不存在。
1)判断拐点的第一充分条件:
- 目标点处二阶导为 0 ;
- 目标点处二阶导数异号。
2)判断拐点的第二充分条件:
- 目标点处(邻域)函数三阶可导;
- 目标点处二阶导为 0 ;
- 目标点处三阶导不为 0 。
3)判断拐点的第三充分条件:
- 目标点处 n 阶可导;
- 前 n-1 阶导数为 0 ,n 阶导数不为 0 ;
- n 为奇数。
4. 渐近线
1)铅锤渐近线:
若 $\lim_{x\to x^+_0}f(x)=\infty$ (或 $\lim_{x\to x^-_0}f(x)=\infty$ ),则 $x=x_0$ 为一条铅锤渐近线。2)水平渐近线:
若 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_1$ ,则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线;
若 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_2$ ,则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线;
若 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0$ ,则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线。3)斜渐近线:
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k_1$ ,$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-k_1x]=b_1$ ,则 $y=k_1x+b_1$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线;
若 $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k_2$ ,$\lim_{x\to-\infty}[f(x)-k_2x]=b_2$ ,则 $y=k_2x+b_2$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线;
若 $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k$ ,$\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=b$ ,则 $y=kx+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一条渐近线。5. 最值
极值不一定是最值,分界点、端点等可疑点也有可能是最值。6. 曲率与曲率半径
7. 相关变化率
根据物理规律处理相关数据,最终得到正确的模型。