一元函数微分学的概念与计算

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一、导数定义

$$f'(x_0)=\lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x_0+\triangle x)-f(x_0)}{\triangle x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

二、微分定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0+\triangle x$ 在该邻域内，对于函数增量 $\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)$ ，若存在与 $\triangle x$ 无关的常数 $A$ ，使得 $\triangle y=A\triangle x+o(\triangle x)$ ，其中 $o(\triangle x)$ 是在 $\triangle x\to 0$ 时比 $\triangle x$ 更高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，并称 $A\triangle x$ 为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分，记作 $dy|_{x=x_0}=A\triangle x$ 或者 $df(x)|_{x=x_0}=A\triangle x$ 。又 $\triangle x=dx$ ，故 $dy|_{x=x_0}=Adx$ 。

三、计算

1. 基本求导公式

$$(\log_\alpha x)'=\frac{1}{x\ln\alpha}(\alpha>0,\alpha\ne0)$$ $$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\tan x)'=\sec^2x$$ $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\cot x)'=-\csc^2x$$ $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\sec x)'=\sec x\tan x$$ $$(\csc x)'=-\csc x\cot x$$ $$\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$ $$\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right]'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

2. 复合函数求导

设 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 处可导，则：

$$\left \{f \left [g \left (x \right ) \right ] \right \} ' = f' \left [ g\left( x \right) \right ] g'(x)$$

3. 隐函数求导

等号两边同时对自变量求导即可。

4. 反函数求导

$$y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x'_y}$$ $$y''_{xx}=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x'_y})}{dy}\cdot\frac{1}{x'_y}=-\frac{x''_{yy}}{(x'_y)^3}$$

5. 分段函数求导

分段点用定义法，非分段点用公式法。

6. 多项乘除、开方、乘方求导

使用对数求导法，将复杂函数的项转化为对数中的加减项处理。

7. 幂指函数求导

将幂指函数转化为指数函数求导。

8. 参数方程求导

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d(\frac{dy}{dt})}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y''(t)x'(t)-x''(t)y'(t)}{\left[x'\left(t\right)\right]^3}$$

9. 变限积分求导

$$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$$ $$F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)$$

10. 高阶导数求导

• 数学归纳法处理
• 考研数学常用基础知识（麦克劳林展开）
• 使用莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$