一元函数积分学的概念与性质

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一、七大性质

1. $f(x)$ 为奇函数 $\Rightarrow f’(x)$ 为偶函数；
2. $f(x)$ 为偶函数 $\Rightarrow f’(x)$ 为奇函数；
3. $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数 $\Rightarrow f’(x)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数；
4. $f(x)$ 为奇函数 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x}f(t)dt 为偶函数, \\ \int_{a}^{x}f(t)dt 为偶函数(a\ne0).\end{matrix}\right.$
5. $f(x)$ 为偶函数 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x}f(t)dt 为奇函数, \\ \int_{a}^{x}f(t)dt 不确定(a\ne0).\end{matrix}\right.$
6. $\left\{\begin{matrix} f(x)是以T为周期的周期函数, \\ \int_{0}^{T}f(x)dx=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x}f(t)dt是以T为周期的周期函数, \\ \int_{a}^{x}f(t)dt是以T为周期的周期函数(a\ne0).\end{matrix}\right.$
7. $f(x)$ 是以T为周期的周期函数 $\Rightarrow\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx$ ，$\forall$ 常数 $a$ 。

   二、积分比大小

   1. 用几何意义

   ①：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
   ②：$\int_{x_0}^{x}f'(t)dt=f(x)-f(x_0)$
   ③：$\int_{-a}^{a}f(x)dx=\left\{\begin{matrix}2\int_{0}^{a}f(x)dx, f(x)=f(-x), \\ 0, f(x)=-f(-x).\end{matrix}\right.$

   2. 用保号性

   ①：看出正负，如 $|x|\ge0$ ；当 $x\in[\pi,2\pi]$ 时，$\sin x\le0$ 等；
   ②：作差，$I_1-I_2$ ，再换元，常用 $x=\pi\pm t$ ，$x=\frac{\pi}{2}\pm t$ 。

   三、定积分定义

   1. 基本形

   将 $n+i(an+bi,ab\ne0)$ ，$n^2+i^2$ ，$n^2+ni$ 等式子凑为 $\frac{i}{n}$ 即可。

   2. 放缩形

   通常使用夹逼准则处理，或者放缩后再凑为基本形。

   3. 变量形

   在通项中含 $\frac{x}{n}i$ ，考虑使用以下式子：$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(0+\frac{x-0}{n}i\right)\frac{x-0}{n}=\int_{0}^{x}f(t)dt.$

   四、反常积分判敛

   1. 概念

   ①：$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ 叫无穷区间上的反常积分；
   ②：$\int_{a}^{b}f(x)dx$ ，其中 $\lim_{x\to a^+}f(x)=\infty$ ，$a$ 叫瑕点，此积分叫无界函数的反常积分。

   2. 判别

   ①：要求每个积分有且仅有一个奇点；
   ②：尺度：$\left\{\begin{matrix} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\left\{\begin{matrix} 0<p<1时收敛 \\ p\ge1时发散 \end{matrix}\right. \\ \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\left\{\begin{matrix} p>1时收敛 \\ p\le1时发散 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$