二重积分

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一、概念

1. 和式极限

$$\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\cdot\frac{b-a}{n}\cdot\frac{d-c}{n}$$

简单来说就是凑出 $\frac{i}{n}$ 、$\frac{j}{n}$ 和两个 $\frac{1}{n}$ ，然后化为：$\int_0^1dx\int_0^1f(x,y)dy$

2. 普通对称性

已知函数：$I=\iint_Df(x,y)d\sigma$，若区域 $D$ 具有某种对称区域 $D_1和D_2$ ：

1. 若：$f(x,y)=f(-x,y)=f(x,-y)=f(-x,-y)=f(y,z)=f(x,2a-y)=f(2a-x,y)$则：$I=\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma$
2. 若：$f(x,y)=-f(-x,y)=-f(x,-y)=-f(-x,-y)=-f(y,z)=-f(x,2a-y)=-f(2a-x,y)$则：$I=0$

   3. 轮换对称性

   若将 $D$ 中的 $x,y$ 对调后，$D$ 不变，则：$I=\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_Df(y,x)dxdy$
   则可化简积分：$I=\frac{1}{2}\iint_Df(x,y)+f(y,x)dxdy$

   4. 比大小

3. 对称性
4. 保号性

   5. 周期性

   一元积分可用周期性进行化简

   二、计算

   1. 直角坐标系与换序

   交换 $x$ 与 $y$ 的积分次序

   2. 极坐标系与换序

   $$\iint_Df(x,y)=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta _1)}^{r_2(\theta _2)}f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})rdr$$

   3. 直极转化

   函数化简的必要操作

   4. 直参转化

   $$\iint_Df(y)d\sigma=\int_a^bdx\int_0^{y(x)}f(y)dy=\int_a^bF(y(t))\cdot x'(t)dt$$

   三、应用

   1. 面积

   $$S=\iint_Dd\sigma$$

   四、技巧

   1. 二重积分中值定理

   $\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\cdot\sigma_0$其中 $\sigma_0$ 为区域 $D$ 的面积