函数极限与连续性

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一、函数极限的定义及使用

$$\lim_{x \to \cdot} f(x)=A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, x \to \cdot时, |f(x)-A|<\varepsilon$$

若极限存在：

1. 极限是常数；
2. 极限具有唯一性，即左右极限相等；
3. 局部有界性；
4. 局部保号性；
5. 等式脱帽法：$f(x)=A+\alpha, 其中\lim_{x \to \cdot} \alpha=0.$

   二、函数极限的计算

   1. 化简（等价无穷小替换、恒等变形）

   $$\sin x\sim x、\tan x\sim x、\arcsin x\sim x、\arcsin x\sim x、\ln(1+x)\sim x、e^x-1\sim x$$ $$a^x-1\sim x\ln a、1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2、(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x、1-\cos^\alpha x\sim\frac{a}{2}x^2$$ $$\lim_{x\longrightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\longrightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$

   2. 洛必达法则

   3. 泰勒公式

   $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$$ $$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)$$ $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$$ $$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)$$ $$y=f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

   4. 无穷小比阶

   $$\lim_{x \to \cdot} \frac{f(x)}{g(x)} \begin{matrix}\frac{0}{0} \\ = \end{matrix} \left\{\begin{matrix} 0, \\ c\ne0, \\ \infty.\end{matrix}\right.$$ 分别对应高阶无穷小、同阶无穷小和低阶无穷小。

   三、函数极限的存在性

   此类通常为证明题，对于具体型，需采用洛必达法则处理，对于抽象型，需采用单调有界准则处理。
   单调有界准则：若 $x\to+\infty$ 时，$f(x)$ 单调增加（减少）且 $f(x)$ 有上界（下界），则 $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ 存在。

   四、函数极限的应用

   1. 连续性

6. 内点处：若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，其中 $x_0\in(a,b)$，则称 $f(x)$在$x=x_0$ 处连续；
7. 端点处：设 $x\in[a,b]$，若$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$，则称 $f(x)$ 在 $x=a$ 处右连续；若 $\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$，则称 $f(x)$ 在 $x=b$ 处左连续。

   2. 间断

   前提：$f(x)$在$x=x_0$左、右两侧均有定义，对于① $\lim_{x\to x^+_0}f(x)$；② $\lim_{x\to x^-_0}f(x)$；③ $f(x_0)$.
8. 若 ①，② 均存在但 ① 不等于 ②，则 $x_0$ 为跳跃间断点；
9. 若 ①，② 均存在且 ① 等于 ② 但不等于③，则 $x_0$ 为可去间断点；
10. 若 ①，② 至少有一个不存在且等于无穷，则 $x_0$ 为无穷间断点；
11. 若 ①，② 至少有一个不存在且振荡，则 $x_0$ 为振荡间断点。

其中前两条组成第一类间断点，后两条组成第二类间断点。