数列极限

目录：点我

思维导图下载：点我

一、数列极限的定义及使用

$$\lim_{n\to\infty}x_n=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists N>0, 当n>N时, 有|x_n-A|<\varepsilon.$$

在极限存在的条件下：

1. 极限是常数；
2. 极限具有唯一性；
3. 有界性；
4. 保号性；
5. 收敛的充要条件：所有子列 $\left \{ x_{n_k} \right \}$ 均收敛于 A 。

   二、数列极限的存在性与计算

   1. 归结原则

   若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则当 $\left\{x_n\right\}$ 以 $x_0$ 为极限时，有 $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$.
6. 当 $x\to0$ 时，取 $x_n=\frac{1}{n}$，即若 $\lim_{x\to0}f(x)=A$，则 $\lim_{n\to\infty}f(\frac{1}{n})=A$.
7. 当 $x_n\to a$ 时，若 $\lim_{x\to a}f(x)=A$，则 $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$.

   2. 直接计算

   3. 定义法（先斩后奏）

   简单来讲就是先用定义法则“猜”出极限是什么，然后假设该数列极限 A 等于这个结果，最后将后一项极限值与 A 做差，运算证明得到的极限结果为 0 。

   4. 单调有界准则

   简单来讲就是证明该数列满足单调递增（递减），且具有上界（下界）。

   5. 夹逼准则

   通过计算放缩后的数列极限相等来得到该数列极限。