线性方程组

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线性方程组

一、概念

  1. 方程组 (1)称为 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的非齐次线性方程组,其中 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 代表 $n$ 个未知量,$m$ 是方程的个数,$m$ 可以等于 $n$ ,也可以大于 $n$ 或者小于 $n$ ,$a_{ij}$ 是第 $i(i=1,2,\cdots,m)$ 个方程中 $x_j(j=1,2,\cdots,n)$ 的系数,$b_i(i=1,2,\cdots,m)$ 是第 $i$ 个方程的常数项。
  2. 如果 $b_i=0(\forall i=1,2,\cdots,m)$ ,则称方程组 (2)为齐次线性方程组。它是方程组 (1) 的导出组。
  3. 若将一组数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 分别代替方程组 (1) 中的 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ ,使式 (1) 中 $m$ 个等式都成立,则称有序数组 $[c_1,c_2,\cdots,c_n]$ 是方程组 (1) 的一组解。解方程就是要找出方程组的全部解。
  4. 线性方程组 (1) 的全体系数及常数项所构成的矩阵 $\bar A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m\end{bmatrix}$称为方程组 (1) 的增广矩阵,而由全体系数组成的矩阵 $\bar A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}$ 称为方程组 (1) 的系数矩阵。
  5. 方程组 (1) 可以用矩阵表示为:$Ax=b$ ,其中 $x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$ ,$b=[b_1,b_2,\cdots,b_m]^T$ .
  6. 如果两个方程组有相同的解集合,则称它们是同解方程组。

    二、定义

    1. 下列三种变换称为线性方程组的初等变换:

  • 用一个非零常数乘方程的两边;
  • 把方程的 $k$ 倍加到另一方程上;
  • 互换两个方程的位置。

线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后,每个方程中的第一个未知量通常称为主变量,其余的未知量称为自由变量。

2.基础解系:

向量组 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 称为齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系,如果:

  • $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是 $Ax=0$ 的解;
  • $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 线性无关;
  • $Ax=0$ 的任一解都可由 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 线性表出。

如果 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一组基础解系,那么对任意常数 $c_1,c_2,\cdots,c_t$ ,$c_1\eta_1+c_2\eta_2+\cdots+c_t\eta_t$ 是齐次方程组 $Ax=0$ 的通解。

注意:$Ax=0$ 的基础解系是不唯一的。

三、定理

1. 定理:

线性方程组的初等行变换把线性方程组变成与它同解的方程组。

2. 定理:

设 $n$ 元线性方程组为 (1) ,对它的增广矩阵施行高斯消元法,得到阶梯形矩阵:
如果 $d_{r+1\ne0}$ ,方程组 (1) 无解;如果 $d_{r+1}=0$ ,方程组有解,而且当 $r=n$ 时有唯一解,当 $r<n$ 时有无穷多解。

3. 等价组:

  • 齐次方程组 (2) 有非零解;
  • $r(A)<n$ ;
  • $A$ 的列向量线性相关。
  • 推论:当 $m<n$ (即方程的个数 < 未知数的个数)时,齐次线性方程组 (2) 必有非零解。
  • 推论:当 $m=n$ 时,齐次线性方程组 (2) 有非零解的充分必要条件是行列式 $|A|=0$ 。

    4. 定理:

    设齐次线性方程组 (2) 系数矩阵的秩 $r(A)=r<n$ ,则 $Ax=0$ 的基础解系由 $n-r(A)$ 个线性无关的解向量所构成。

    5. 有解判定定理:

    非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等,即 $r(A)=r(\bar A)$.

若 $r(A)=r(\bar A)=n$ ,则方程组有唯一解;

若 $r(A)=r(\bar A)<n$ ,则方程组有无穷多解。

等价组:

  • 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 无解;
  • $r(A)+1=r(\bar A)$ ;
  • $b$ 不能由 $A$ 的列向量线性表出。

    6. 解的性质:

  • 如果 $\eta_1,\eta_2$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的两个解,那么其线性组合仍是该齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解。
  • 如果 $\alpha,\beta$ 是线性方程组 $Ax=b$ 的两个解,则 $\alpha-\beta$ 是导出组 $Ax=0$ 的解。
  • 如果 $\alpha$ 是线性方程组 $Ax=b$ 的解,$\eta$ 是导出组 $Ax=0$ 的解,则 $\alpha+\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。

    7. 解的结构:

    对非齐次线性方程组 $Ax=b$ ,若 $r(A)=r(\bar A)=r$ ,且已知 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_{n-r}$ 是导出组 $Ax=b$ ,$\xi_0$ 是 $Ax=b$ 的某个已知解,则 $Ax=b$ 的通解为:其中 $c_1,c_2,\cdots,c_{n-r}$ 为任意常数。